[pms-logout text="Bienvenido, {{meta_user_name}}" link_text="Salir"]
Cristóbal Mateos Iguacel
Doctor ingeniero de caminos, canales y puertos y matemático
En 1967 la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales publicó un artículo de un miembro de la misma, don Clemente Sáenz García, sobre una generalización del triángulo de Pascal (1). En él se ampliaban ideas recogidas de un artículo de Martin Gardner, a la sazón primera figura mundial en matemática recreativa, publicado en diciembre de 1966 en la revista Scientific American. Antes de proseguir, resulta oportuno sintetizar las ideas del artículo del profesor Sáenz que servirán de base a lo que aquí se desea exponer.
Se parte del conocido triángulo de Pascal (o Tartaglia), que agrupa por filas los números combinatorios que aparecen en las sucesivas potencias de un binomio. Por razones que luego se expondrán, en la figura 1 se recogen, con su valor numérico, los coeficientes del binomio hasta la potencia decimoquinta de (a + b), aunque el «triángulo» puede prolongarse indefinidamente. Siguiendo la sugerencia de don Clemente, para que la figura sea compacta cada número combinatorio se considera incluido en un hexágono coloreado. En cada casilla se señala en color verde si el número combinatorio es par y en color rojo, si es impar. Por otra parte, es bien sabido que —con independencia de que sus componentes sean los números combinatorios— el triángulo de Pascal se puede generar disponiendo en las celdas de ambos bordes una hilera con el número 1 y rellenando el resto por filas sucesivas, poniendo en cada celda la suma de las dos contiguas situadas justo encima. La idea analizada por Martin Gardner y Clemente Sáenz es la de efectuar la suma de celdas contiguas no en el anillo Z de los enteros, si no en el anillo Z2 de las clases de resto módulo 2. El convenio especificado de colores para las celdas permite identificar el resultado con los colores de la figura 1 ya que la palabra «par» equivale a la clase de resto del 0 y la palabra «impar», a la clase de resto del 1.
Si se prescinde de los números contenidos en cada celda, lo interesante de la figura 1 son las simetrías que se perciben en ella. Desde luego, como los colores de los dos bordes son idénticos y la suma —tanto en Z como en Z2— es conmutativa, la figura tiene una simetría de eje vertical, cualquiera que sea el número de filas que se considere. Asimismo, para determinados valores del número de filas (1, 2, 4, 8, 16 y, en general, 2k) —por ejemplo, 16, como en la figura 1— se observa que el borde inferior tiene el mismo color que los bordes laterales. Ello se debe a que los números combinatorios de esas filas son siempre números impares. Se observa, además, una cierta repetición de estructuras; así, el triángulo de las ocho primeras filas —que, por cierto, es el inmediatamente anterior en la lista de números de filas que se han singularizado— aparece copiado en ambos lados de la parte inferior de la figura, estando los tres triángulos iguales delimitados por un triángulo monocolor verde que, como resalta don Clemente, corresponde a ceros de Z2. Asimismo, dado que, según se ha dicho, la figura puede obtenerse calculando por filas sucesivas, es muy singular que, si se rota la figura 120º en torno al centro del triángulo en uno u otro sentido, el resultado es un triángulo coloreado de forma idéntica al original; es decir, además de la simetría bilateral, este tiene una simetría por rotación y, como consecuencia de ambas, también tiene otras simetrías bilaterales respecto de los ejes que pasan por el centro y un vértice. Hay que advertir que todos los triángulos con un número de filas potencia de dos presentan propiedades análogas, por no decir idénticas.
A continuación, el artículo evocado al inicio se orienta a generalizar la idea a los coeficientes, llamados de Leibniz, de las potencias de un trinomio (a + b + c), tomando también restos módulo dos, coloreándolos como antes y disponiéndolos en una pirámide que, en este caso, podría ser de esferas o —como prefiere el autor— rombododecaedros, ya que estos permiten que no haya huecos en el volumen que ocupan en conjunto. Se advierte también que, en este caso, la pirámide se puede generar de forma aditiva, poniendo tres aristas de unos y obteniendo, a través de un proceso progresivo, cada elemento que falta como suma de los dos o tres que tiene encima. Resalta el autor la generalización de lo observado en el triángulo si aquí también se pasa a sumas módulo dos. Por ejemplo, ahora una pirámide de cualquier tamaño admite una simetría al rotar 120º en torno a un eje vertical que pase por el vértice superior. Asimismo, para ciertos tamaños —de nuevo, cuando hay un número de planos horizontales que corresponden a filas potencia de dos— la simetría se puede observar girando los 120º en torno a un eje que pase por cualquier vértice de la base y el centro de la cara opuesta. Además, si se rota la figura llevando un vértice de la base al vértice superior y llevando la cara opuesta a ese vértice a la base inicial, el resultado es idéntico a la figura de partida. Una consecuencia, claro está, es que, para estos tamaños, la base de la pirámide es idéntica a las tres caras laterales, las cuales, por cierto, son idénticas a los triángulos obtenidos en el plano. También en analogía con lo comentado en el plano, don Clemente observa que, si en esos casos de simetría reforzada se añade un conjunto de otros tantos planos más, se obtiene un centro monocolor de ceros agrupados en una pirámide invertida, y el resto se puede descomponer en cuatro pirámides idénticas, que se identifican con la figura de la anterior potencia de dos. El artículo finaliza con comentarios sobre la generalización a cuatrinomios para obtener hiperpirámides en un espacio tetradimensional.
Se ha omitido la reproducción más detallada de lo expuesto en aquel artículo porque la última parte se aleja de lo que aquí se quiere exponer; quien quiera conocer más al respecto puede solicitarlo fácilmente a la Academia que lo publicó. En cualquier caso, poco después de que se publicara el artículo de don Clemente, este autor comentó con él otra posible línea de generalización. Consistía en trabajar con los restos de otro número que pudiera ser adecuado y no hacerlo con los restos módulo dos, ampliando de este modo el número de colores. Tal vez tres, cuatro, cinco etc. Con la generosidad y el entusiasmo que le eran propios, don Clemente animó a publicar los resultados obtenidos. Pero, aunque alguna de las figuras obtenidas tenía cierta elegancia —véase como ejemplo la figura 2 con los restos modulo 3, pues presentan simetrías y descomposiciones con subtriángulos idénticos, triángulos con complementaridad de colores respecto de otros y triángulos de ceros (verdes en esa figura)— faltaba el toque especial de admitir, en ciertos tamaños, una simetría por rotación de modo que este autor entendió preferible esperar a un mejor enfoque.
Al cabo de cincuenta años, unos nuevos demandantes, bastante más jóvenes, han llevado a una reconsideración del tema propiciando invertir la formulación de la pregunta, que en vez de ser: «¿Para qué clases de resto y para qué tamaños de triángulos se podrían obtener triángulos de Pascal en los que, al aplicarles una rotación de 120º, se volviera a obtener la figura de partida?», ha cambiado a «¿Cómo tiene que ser una ley de composición para que, al utilizarla para construir un triángulo de Pascal, en algunos tamaños al girarlo 120º este triángulo resulte tener una simetría rotatoria?».
Si una ley de composición en un conjunto H es compatible con que con ella —a partir de dos laterales simétricos y adecuados— se construya un triángulo de Pascal que sea simétrico e idéntico a sí mismo al rotarlo 120º, se demostrará que es necesario que su ley de composición tenga ciertas peculiaridades. Para ello piénsese en dos celdas contiguas del triángulo y en la celda que está bajo ambas. Si la celda más a la izquierda se asocia con el elemento a, su contigua con b y la que está bajo ambas con c, la regla de construcción del triángulo exige que a * b = c y la simetría obliga a que b * a = c. Si se rota el triángulo 120º en sentido antihorario, las tres celdas seguirán siendo contiguas, pero ahora b y c estarán arriba y a debajo. Por la admitida coincidencia con la situación previa tras la rotación, esas posiciones obligan a que ahora sea b * c = a y, girando otra vez, se concluye que también hace falta que c * a = b. Además, la simetría exigida obliga a que la ley de composición sea conmutativa. En resumen, es necesario que a * b = c obligue a que b * c = c * b = a y a que a * c = c * a = b. En rigor, esto solo es preciso exigirlo para los pares de elementos que estén contiguos en el triángulo; sin embargo, por una mayor amplitud y porque los tratamientos alternativos parecen factibles por analogía, aquí se va a definir que un conjunto con una ley de composición interna (H,*) es ROTATORIO si la ley es conmutativa y para todo par a, b € H resulta que a * b = c implica que b * c = a.
Por lo dicho, es claro que, para que sea posible construir un triángulo de Pascal con los elementos de (H,*) que admita giros de 120º sin que el resultado difiera de la figura de partida, al menos es necesario que (H,*) sea rotatorio. Un primer ejemplo de conjunto rotatorio lo constituye (Z2,+), lo cual explica los resultados expuestos anteriormente. También es inmediato advertir que (Zn,+) para n>2 no puede ser rotatorio (dado que para la suma en cualquiera de esos anillos se sabe que 1 * 1 = 2 y 2 * 1 no es 1, se concluye que es imposible cumplir lo exigido) y que, por tanto, no era posible llegar a triángulos plenamente satisfactorios para ninguna de las clases de resto de 3, 4, 5 etc.
Para crear nuevos triángulos de Pascal con las simetrías pretendidas será preciso, por un lado, empezar por ver cuáles son los posibles conjuntos rotatorios que se pueden pensar con más de 2 elementos y, por otro, cuántos triángulos con las simetrías pretendidas se pueden conseguir para un conjunto rotatorio concreto y cómo puede hacerse.
El caso ya conocido, (Z2,+), es un grupo abeliano y la pregunta que se impone en primer lugar es si hay más grupos abelianos que sean rotatorios. Hipotéticamente, sea T un grupo abeliano rotatorio. Sean e su unidad y x un elemento cualquiera de T. Desde luego, e * x = x, pero por rotación x * x = e y, en definitiva, todo elemento de T es su propio inverso. Eso pasa, por ejemplo, en el grupo V, grupo cuártico o vierergruppe de Klein. Es bien sabido que se puede expresar como Z2 x Z2 y, como es fácil ver que el producto cartesiano de dos conjuntos rotatorios es rotatorio, se concluye que el grupo V es rotatorio. De hecho, si un grupo T es rotatorio, será una potencia de Z2 y así tendrá 2 o 4 o 8 o 16 elementos. Esto se aleja bastante de lo que sería deseable, pues parece natural pretender que para cada entero sea posible encontrar un conjunto rotatorio ya que, como se verá, son pocos los enteros para los que eso sea imposible. Otro inconveniente, aunque se puede paliar, es que en estos grupos (potencia de Z2), si se pone un elemento cualquiera distinto del neutro a lo largo de los bordes, la figura resultante es idéntica, salvo tal vez por los colores, a la figura 2, o a otra de un tamaño potencia de dos en Z2 y, por tanto, solo participan dos elementos del grupo de modo que no se ha ampliado nada.
Por supuesto, la forma de evitarlo es poniendo un borde más variado, como se ha hecho en la figura 3 con el grupo V y en la que el color rojo corresponde al elemento neutro del grupo de Klein mientras que los otros tres juegan papeles análogos en el grupo.
Algunos magmas rotatorios
Aunque un conjunto con estructura de grupo presenta muchas ventajas para su manejo, al haber mostrado que, si se impone como obligación, se reducen mucho las opciones, parece necesario no forzar ese requisito e imponer solamente que el conjunto (H,*) sea rotatorio. Un conjunto como H con una ley de composición interna sin más requisitos se dice que es un magma (algunos también lo llaman grupoide); por ello se empezará por buscar los magmas rotatorios más sencillos.
Con un elemento hay solo una ley de composición posible (obviamente que el compuesto consigo mismo da él como resultado) y, además de ser un grupo, es un magma rotatorio. Con dos elementos hay 16 magmas posibles y, de estos, dos son rotatorios, pero solo uno de ellos se incorporará al listado ya que ambos son isomorfos al arriba citado (Z2,+) al cual, por razones que se indicarán luego, aquí se le designará como M2,1. Con 3, 4, 5, 6 o 7 elementos ya se trata de magmas que no se han considerado en el contexto de los triángulos de Pascal: para presentarlos, en vez de indicar su tabla, se puede hacer uso de las propiedades con las que se han caracterizado a los rotatorios y, en vez de poner que su tabla es a*b=c, b*c=a, a*c=b, c*a=b, b*c=a, c*b=a, p*q=r, y*z=x, z*y=x, se puede sintetizar y convenir que [a,b,c] simboliza los seis primeros resultados y [x,y,z], los seis últimos. A los conjuntos entre corchetes, por ejemplo [p,q,r], se les designará aquí como ternas.
Así, si un magma solo tiene tres elementos, se puede comprobar que hay dos posibilidades para que sea rotatorio: la primera, con las cuatro ternas [a,b,c], [a,a,a], [b,b,b], [c,c,c] y la segunda, con las tres ternas [a,a,b], [b,b,c], [c,c,a]. Aunque con esas mismas tres letras hay unos pocos rotatorios más, estos no son relevantes ya que son isomorfos a uno de estos dos. A diferencia de lo que pasaba en Z2 y en V, en cada uno de los dos casos los tres elementos juegan papeles idénticos.
Antes de pasar a considerar magmas rotatorios con más elementos, se van a proponer unas ideas para ayudar a su obtención y clasificación. En los dos ejemplos citados con tres elementos se dan distintos tipos de ternas. Puede suceder que, como en [a,b,c], los tres elementos de la terna sean distintos, entonces se hablará de una triterna; también se ha visto [a,a,b] y [c,c,c], que se designarán respectivamente como biterna y monoterna (en alusión al número de elementos distintos que tiene cada una). Así, una triterna sintetiza 6 productos de la tabla, una biterna lo hace con tres, y una monoterna, solo con uno. Si ahora en un magma rotatorio con n elementos se indica con T1, T2 y T3 el número de monoternas, biternas y triternas que lo constituyen, es inmediato concluir que:
T1 + 3T2 + 6T3 = n2
T1 + T2 = n
La primera ecuación contabiliza que una tabla de doble entrada tiene tantos productos como el cuadrado del número de elementos. La segunda toma en cuenta que la composición de cada uno de los n elementos consigo mismo dará una biterna o una monoterna.
Este sistema de ecuaciones admite soluciones en función del valor que se adjudique a T1 gracias a las expresiones:
3T3 = n(n-3)/2 + T1 (1)
T2 = n-T1 (2)
Como las soluciones son enteros no negativos es inmediato que la parte derecha de (1) tiene que ser un múltiplo de 3. Con esto, y que T1 no puede superar a n, se concluye que el número de soluciones del sistema de ecuaciones es igual a sumar uno al cociente entero de n entre tres. Para cada solución se deberán buscar y encontrar, caso de existir, los magmas rotatorios asociados que puedan encajar en su reparto de ternas, lo que se facilita observando que dos ternas solo pueden tener como máximo un elemento en común.
Si se aplican estas ideas al caso de n=3 (que con un enfoque más directo se ha visto arriba), la primera solución allí comentada corresponde a T1=3 y la segunda, a T1=0. Por ello, estos dos magmas se identificarán aquí como M3,3 y M3,0, donde el primer subíndice identifica el número de elementos del magma y el segundo, el número de monoternas que tiene. De manera análoga, según esta notación, los magmas rotatorios con uno o dos elementos que se han comentado anteriormente se designarán como M1,1 y M2,1.
Si se considera ahora n=4, caben dos soluciones del sistema usando las fórmulas (1) y (2) que son: primero, T1=1 (y, por tanto, T2=3, T3=1), y segundo, T1=4 (y, por tanto, T2=0, T3=2). Sin embargo, este segundo caso no puede aportar ningún magma rotatorio ya que, si una de las dos triternas que debería tener ese supuesto magma es, por ejemplo, [a,b,c], la otra debería ser [d,x,z]. Sin embargo, tal cosa obligaría, por agotamiento de opciones, a que tanto x como z fuesen también de la primera triterna, algo que, como ya se ha hecho notar, produce una coincidencia imposible. A la primera posibilidad es factible asociarle dos magmas rotatorios distintos (en el sentido de no ser isomorfos). Si sus elementos son (a,b,c,d) y suponemos que la triterna que tiene que tener es [a,b,c], hay dos posibilidades para la monoterna: a) que la genere el cuarto elemento y sea [d,d,d], o b) que la genere uno de los elementos de la triterna, por ejemplo, [c,c,c]. El caso a) ha de completarse con tres biternas, que obligadamente serán [a,a,d], [b,b,d], [c,c,d]; a este magma se le denotará aquí como M4,1v. El caso b), que se denominará M4,1b, también ha de completarse con tres biternas que obligadamente serán [a,a,d], [b,b,d], [d,d,c]. Como los dos magmas rotatorios tienen el mismo número de elementos y el mismo número de monoternas, es preciso incorporar una letra a su identificación optándose por la v en el primero, pues se trata del vierergruppe, y por la b, en el segundo por coincidir su tabla de composición en un 75% con la del otro magma.
Si se pasa a n=5 y se usan los procedimientos mostrados, se puede comprobar que solo hay un magma rotatorio con cinco elementos.
También en este caso el sistema admite dos soluciones. La primera es T1=1, T2=4 y T3=2. Partiendo de que ha de haber dos triternas (en las que participan seis elementos) y haber solo cinco elementos en el conjunto, uno de ellos deberá de ser común a ambas (pero no más, pues eso es incongruente). Sea este elemento a y (salvo isomorfismos irrelevantes) las dos triternas resultan ser [a,b,c], [a,d,e]. Aceptando esto, es obligado que la única monoterna sea [a,a,a]; las cuatro biternas tienen como elemento repetido cada uno de los otros cuatro elementos. Si una de ellas es [b,b,d] resultan obligadas las otras tres [d,d,c], [c,c,e], [e,e,b]. Si se hubiera comenzado optando por [b,b,e] también se llegaría a un magma rotatorio. Pero es fácil ver que una biyección, que aplicase a,b,c en sí mismos y d,e el uno en el otro, evidencia que ambos resultados son isomorfos. A este magma rotatorio se le identificará como M5,1.
En cuanto a la segunda solución, T1=4, T2 =1 y T3=3, sabiendo que debe ser T3=3 es fácil concluir que, como antes, sin pérdida real de generalidad, dos de las tres triternas pueden fijarse como [a,b,c], [a,d,e]. Ciertamente la tercera triterna puede tomar un elemento de la primera y otro de la segunda, y escribirse hipotéticamente como [b,e,x] (por ejemplo), pero cualquiera que sea la opción para x (dentro de los cinco elementos convenidos) saldrá una terna incompatible con una de las dos ya aceptadas. Es decir, en esta segunda solución del sistema no es posible encajar ningún magma rotatorio y, por tanto, con cinco elementos, solo existe un magma rotatorio.
A partir de aquí y para que la exposición no sea excesivamente repetitiva, se omitirán las demostraciones y considerarán solo unos pocos casos más. En cada uno de estos será de confirmación inmediata, por inspección, de que se trata de un magma rotatorio. En definitiva, solamente se omitirá la demostración de que en cada tamaño no hay más magmas rotatorios que los presentados.
Subiendo a seis elementos (n=6) se pueden encontrar tres magmas rotatorios:
1.º con las ternas [a,b,c], [a,d,e], [b,d,f], [a,a,f], [b,b,e], [d,d,f], [c,c,e], [e,e,f], [f,f,d] se constituye un magma rotatorio con seis elementos que se denominará M6,0;
2.º las ternas [a,b,c], [a,d,e], [b,d,f], [c,e,f], [a,a,a],[b,b,b], [c,c,c], [f,f,a], [e,e,b], [d,d,c] forman otro magma rotatorio, que será M6,3a;
3.º con las ternas [a,b,c],[a,d,e], [b,d,f], [c,e,f], [d,d,d], [e,e,e], [f,f,f], [a,a,f], [b,b,e], [c,c,d] se obtiene M6,3b, que es el último magma rotatorio con seis elementos.
También es fácil comprobar que el primero es isomorfo al producto cartesiano de M2,1 y M3,0, mientras que el segundo es isomorfo al producto cartesiano de M2,1 y M3,3.
Al pasar a siete elementos, también hay solo tres magmas rotatorios, que son:
1.º con las ternas [a,b,c], [a,d,e], [a,f,g], [b,d,f], [c,e,g], [b,b,e], [e,e,f], [f,f,c], [c,c,d], [d,d,g], [g,g,b] y [a,a,a], que va a ser M7,1;
2.º con las ternas [a,b,c], [a,d,e], [a,f,g], [b,d,f], [b,e,g], [c,d,g], [e,e,f], [f,f,g], [g,g,e], [a,a,a], [b,b,b], [c,c,c], [d,d,d], que se llamará M7,4;
3.º con las ternas [a,b,c], [a,d,e], [a,f,g], [b,d,f], [b,e,g], [c,d,g], [c,e,f], [a,a,a], [b,b,b], [c,c,c], [d,d,d], [e,e,e],[f,f,f], [g,g,g], que se llamará M7,7. A riesgo de apartarnos del tema, cabe hacer notar que, si a los elementos se les llama puntos, a las triternas se las llama rectas y si se omiten las monoternas, se está en la conocida geometría de los siete puntos.
En resumen, de los trillones de magmas que es posible concebir con siete elementos solo tres son rotatorios.
Al pasar a ocho elementos, como también en muchos de los casos sucesivos, el número de magmas rotatorios crece hasta superar el número de elementos. Por ello no se va a entrar en detalles. Solamente se citará, por su singularidad, que si se consideran las triternas recién vistas en M7,7, la incorporación de un nuevo elemento h añade a las anteriores las ternas que corresponden a entender que la composición consigo misma de cualquiera de los ocho elementos es precisamente h. El magma resultante es rotatorio y además es un grupo (el cubo de Z2).
De los trillones de magmas que es posible concebir con siete elementos, solo tres son rotatorios
Construcción de triángulos de Pascal con simetría rotatoria
Para algunos de los magmas se han mostrado ejemplos de que es posible generar con ellos triángulos de Pascal con simetría rotatoria. En este apartado se pretende mostrar, para cualquier magma rotatorio, cuántos triángulos de Pascal hay con simetría rotatoria del tamaño que se desee. También se presentará un método para obtener todos ellos. En lo que sigue se definirán como VÁLIDOS aquellos triángulos de Pascal que tengan las dos simetrías contempladas, esto es, con respecto al eje vertical que pasa por el vértice superior y al girar 120º.
Se parte de un magma rotatorio de n elementos y se supone que con ellos se ha podido generar un triángulo con la simetría deseada. Si dicho triángulo tiene en cada lado m celdas (hexagonales), se va a demostrar que, partiendo del mismo y con una mínima modificación de él, van a asociarse, por un procedimiento reglado, exactamente n triángulos válidos, que tendrán lados con m+3 elementos. Además, todo triángulo válido de lados con m+3 elementos se podrá obtener por dicho procedimiento de un y solo un triángulo válido (con m celdas en cada lado). Lo que se va a argumentar es cierto para un magma rotatorio cualquiera, pero, para mayor facilidad de comprensión, se va a exhibir en un triángulo con elementos del magma M5,1.
Se empezará con la figura 4, en la que se comienza con un triángulo construido con éxito (luego se explicará cómo es posible lograr esto) con elementos de M5,1 y, por tanto, válido. La correspondencia de los elementos del magma con los colores en la figura es: a → azul, b → morado azulado, c → rojo, d → amarillo, e → verde. En la figura se muestra tanto el triángulo válido de partida, como el que se quiere obtener de él. El triángulo de partida tiene ocho hexágonos en cada lado y es el que tiene por vértices las tres casillas marcadas con una x. Las celdas de esos vértices también deberían tener uno de los colores indicados, pero no se ha dibujado así porque se va a cambiar; además, si se optase por otro color cualquiera, el triángulo se convertiría en otro igualmente válido. A partir de esa parte central de la figura 4, se procederá por etapas: 1) se añade una orla de hexágonos (que ya están en la figura de momento sin colorear); 2) se colorearán inicialmente solo los seis hexágonos de la orla, identificados con la letra t estos seis hexágonos se colorearán con el color que deberían haber tenido los tres vértices x si se hubiera hecho explícito su color inicialmente; 3) cada hexágono x que acaba de exportar su color original verá el suyo modificado para adoptar el color que resulte en el magma de componer ese color consigo mismo; 4) ahora es posible colorear todos los elementos de la orla identificados por la letra y.
En el caso de la base del nuevo triángulo que delimitan los vértices marcados con una z, para colorearlos se aplicará simplemente la regla de calcular en el magma rotatorio, esto es, cada nuevo elemento se deduce de los dos que tiene encima; los otros dos lados tienen que ser iguales que la base recién obtenida por el carácter rotatorio del magma; 5) a los tres vértices z todavía sin colorear se les asigna el mismo color de los n (en este caso, n = 5) disponibles. Es decir, del triángulo admisible de partida con m (en este caso, m = 8) elementos de lado del que se ha partido, se han obtenido n triángulos admisibles con m + 3 (en este caso, m + 3 = 11) elementos de lado. Y, además, invirtiendo el proceso, es claro que cada triángulo con un lado de m + 3 elementos solo puede provenir de un único triángulo con m elementos en cada lado. Falta completar este análisis comentando, para un valor cualquiera m de hexágonos en el lado, cuántos triángulos admisibles existen, así como indicar un procedimiento para obtener todos ellos. Para mostrarlo se considerarán tres situaciones:
- ª situación: m=3p+1. En este caso se comenzará por observar que hay exactamente n hexágonos de distintos colores, cada uno de los cuales se puede orlar según el procedimiento recién explicado para obtener n nuevos triángulos válidos con cuatro hexágonos en cada lado. Es decir, se pueden lograr n2 triángulos de este nivel. De cada uno de ellos se obtendrán n triángulos válidos con lados de siete hexágonos, obteniendo un total de n3 triángulos válidos. Iterando el proceso se concluye que, como en la situación anterior, hay un total de np+1 triángulos válidos con lados de m hexágonos.
- ª situación: m=3p+2. Ahora se ha de comenzar con triángulos con dos hexágonos en cada lado. Por simetría rotatoria, los tres hexágonos que forman un triángulo válido tienen que tener el mismo color, siendo esa uniformidad suficiente para que sea válido. Hay, pues, justamente n triángulos válidos de ese tipo. De cada uno de estos n triángulos (orlándolos) se pasa a obtener otros n triángulos válidos con lados de cinco hexágonos, es decir, un total de n2 válidos con lados de cinco hexágonos. Iterando el proceso se concluye que, como en la situación anterior, hay un total de n(p+1) triángulos válidos con lados de m hexágonos.
- ª situación: m=3p. En este caso se empezará suponiendo que existe un triángulo válido formado con un total de seis hexágonos (lados de tres hexágonos), lo cual, como se verá, no siempre sucede. En esa hipótesis se entiende que los tres vértices han de ser del mismo color, el cual puede ser, sin ninguna restricción, cualquiera de los n disponibles. Además, por la simetría rotatoria, los centros de los tres lados también deben de ser idéntico color y, como uno de ellos está bajo los otros dos y en contacto con ellos, es el elemento característico de alguna de las monoternas del magma. Si el magma es Mn,q, ha de señalarse que esos hexágonos del centro de los lados pueden adoptar q colores y, en total, es posible combinar n · q triángulos válidos con seis hexágonos. Se puede aplicar ya el proceso de orlamientos sucesivos (siempre con el pequeño, pero importante, detalle de retocar el color de los vértices del triángulo que se orla) para concluir que, en esta tercera situación, existen q · np triángulos válidos. El requisito para que en esta tercera situación existan triángulos válidos es que q no sea nulo. A sensu contrario existen magmas como M3,0 y M6,0 con los que es imposible encontrar triángulos válidos que tengan lados con un número de hexágonos que sea múltiplo de tres.
En resumen, se ha mostrado cuántos triángulos válidos hay de cualquier tamaño y cómo se pueden obtener.
Triángulos de Pascal con borde monocromático
Anteriormente en este artículo se han construido triángulos de Pascal —esto es, triángulos en los que cada elemento se deduce de los dos que tiene encima— válidos con más de dos colores. Estos triángulos mantienen algunas de las propiedades más interesantes de las figuras con dos colores que provienen de la bibliografía, en particular, la simetría rotatoria. Pero hay otra propiedad interesante que se aprecia en figuras como la figura 1, pues en ella se añade la singularidad de que el borde presenta un solo color. Ciertamente, en cualquier magma de los considerados hay monoternas y/o biternas y, poniendo en los dos bordes laterales el elemento de una monoterna, se genera un triángulo válido, pero nada interesante ya que en en él solo aparece un color. Si en los bordes se pone el color del elemento repetido de una biterna, el resultado es el de la figura 1 que, por tanto, no supone ninguna novedad a lo ya conocido. Por esto parece de interés preguntarse si hay magmas para los que, al poner los bordes generadores con un solo color, se pueden producir triángulos válidos —esto es, idénticos a sí mismos al girarlos 120º— en cuyo interior aparezcan más de dos colores. Como se verá, la respuesta es que sí.
En efecto, si se considera el magma M3,0 y, a partir de él, un triángulo con bordes en uno cualquiera de los tres colores posibles y se genera un triángulo con un lado con 28 hexágonos (Figura 5), se percibe que es válido, tiene borde monocromático y tiene tres colores en su interior. Puede demostrarse que esas propiedades las tienen todos los triángulos análogos cuyos lados tengan 4, 10, 28, 82 etc. (en definitiva, 3k+1) hexágonos en cada lado. Sin embargo, el hecho de que el magma, como la mayoría, no sea asociativo complica la demostración lo suficiente como para no ser aconsejable incluirla aquí. Nótese la curiosa circunstancia de que con un hexágono menos en cada lado es imposible construir triángulos válidos en este magma según se ha expuesto antes.
Agradecimientos
No podría faltar en este escrito un recuerdo final al general Pablo Rey Villaverde, que hace ya sesenta años despertó en mí el interés en las propiedades de los triángulos clásicos de Pascal; al profesor Clemente Sáenz García, que cincuenta años atrás atrajo la atención sobre la confección de esos triángulos en otras estructuras y, por último, a los jóvenes Nicolás y Vera, que en la actualidad han desbloqueado este tema con sus preguntas y han ayudado en la selección de las figuras. Sin todos ellos probablemente este texto no se habría escrito.
Referencias
1
Sáenz García, G. (1967). Una generalización del Triángulo de Pascal. Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, tomo LXI , pp. 147-153.